Point1　基礎事項
２次関数の最大と最小
基本形　ｙ＝a(x−p)²＋q
　　　　　a>0のとき　ｘ＝ｐで最小値ｑ　最大値はない
　　　　　a<0のとき　ｘ＝ｐで最大値ｑ　最小値はない
一般形　ｙ＝ax²＋bx＋c
　　　　　平方完成して基本形に直す。

区間ｈ≦ｘ≦ｋにおける２次関数の最大・最小
２次関数の、区間ｈ≦ｘ≦ｋにおける最大と最小は、頂点のｘ座標ｐの位置により、次の場合に分かれる（上に凸のグラフなら最大と最小が入れ替わる）。
　ｐが区間の右外　右半分　中央　左半分　左外

Point2　例題
１．　次の関数の最大値と最小値を求めよ。
（１）　ｙ＝２ｘ²＋３ｘ＋１　（−1/2≦ｘ<1/2）　　　（２）　ｙ＝−1/2ｘ²＋２ｘ＋3/2　（1≦ｘ≦5）
（３）　ｙ＝ｘ²＋ax＋b　（−1≦ｘ≦2）

２．　関数ｙ＝−ｘ²＋２ｌｋ−ｌ²−２ｌ−１（−１≦ｘ≦０）の最大値が０になるような定数ｌの値を求めよ。

３．　２次関数ｙ＝−２ｘ²＋６ｘ＋１のa≦ｘ≦a＋１における最小値を求めよ。

Point3　解答
１．　（１）　ｘ＝−1/2で最小値０、最大値なし　　　（２）　ｘ＝２で最大値7/2、最小値−１
　（３）　最大値はa<−１のとき　ｘ＝−１で−a＋ｂ＋１、−１≦aのときｘ＝２で２a＋ｂ＋４
　　　　 最小値はa<−４のときｘ＝２で２a＋ｂ＋４、−４≦a<2のときｘ＝−a/2で−a²/4＋ｂ
　　　　　　　　　　２≦aのときｘ＝−１で−a＋ｂ＋１

２．　ｙ＝−（ｘ−ｌ）2−２ｌ−１…�@
　[１]　ｌ＜−１のとき
　　　ｘ＝−１で最大値−（ｌ²＋４ｌ＋２）をとる。∴ｌ＝−２−√２
　[２]　−１≦ｌ≦０のとき
　　　最大値は−２ｌ−１であるから、−２ｌ−１＝０とおくとｌ＝−1/2　これは−１≦ｌ≦０を満たす。
　[３]　０＜ｌのとき
　　　ｘ＝０で最大値−（ｌ²＋２ｌ＋１）をとる。∴ｌ＝−１となり、これはｌ＞０に反するから不適。
　以上により、求めるｌの値は　−２−√２、−1/2

３．　ｙ＝−２（ｘ−3/2）²＋11/2
　ここで、ｆ（a）＝−２a²＋６a＋１、ｆ（a＋１）＝−２a²＋２a＋５であり、ｆ（a）＝ｆ（a＋１）とすると
　a＝１　　　よって、
　a<1のときｘ＝aで最小値−２a²＋６a＋１
　１≦aのときｘ＝a＋１で最小値−２a²＋２a＋５をとる。