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2次関数の最大と最小
Point1 基礎事項
2次関数の最大と最小
基本形 y=a(x−p)2+q
     a>0のとき x=pで最小値q 最大値はない
     a<0のとき x=pで最大値q 最小値はない
一般形 y=ax2+bx+c
     平方完成して基本形に直す。

区間h≦x≦kにおける2次関数の最大・最小
2次関数の、区間h≦x≦kにおける最大と最小は、頂点のx座標pの位置により、次の場合に分かれる(上に凸のグラフなら最大と最小が入れ替わる)。
 pが区間の右外 右半分 中央 左半分 左外

Point2 例題
1. 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(1) y=2x2+3x+1 (−1/2≦x<1/2)   (2) y=−1/2x2+2x+3/2 (1≦x≦5)
(3) y=x2+ax+b (−1≦x≦2)

2. 関数y=−x2+2lk−l2−2l−1(−1≦x≦0)の最大値が0になるような定数lの値を求めよ。

3. 2次関数y=−2x2+6x+1のa≦x≦a+1における最小値を求めよ。

Point3 解答
1. (1) x=−1/2で最小値0、最大値なし   (2) x=2で最大値7/2、最小値−1
 (3) 最大値はa<−1のとき x=−1で−a+b+1、−1≦aのときx=2で2a+b+4
     最小値はa<−4のときx=2で2a+b+4、−4≦a<2のときx=−a/2で−a2/4+b
          2≦aのときx=−1で−a+b+1

2. y=−(x−l)2−2l−1…@
 [1] l<−1のとき
   x=−1で最大値−(l2+4l+2)をとる。∴l=−2−√2
 [2] −1≦l≦0のとき
   最大値は−2l−1であるから、−2l−1=0とおくとl=−1/2 これは−1≦l≦0を満たす。
 [3] 0<lのとき
   x=0で最大値−(l2+2l+1)をとる。∴l=−1となり、これはl>0に反するから不適。
 以上により、求めるlの値は −2−√2、−1/2

3. y=−2(x−3/2)2+11/2
 ここで、f(a)=−2a2+6a+1、f(a+1)=−2a2+2a+5であり、f(a)=f(a+1)とすると
 a=1   よって、
 a<1のときx=aで最小値−2a2+6a+1
 1≦aのときx=a+1で最小値−2a2+2a+5をとる。

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