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導関数
Point1 基礎事項
導関数
関数f(x)の導関数 

y=xnと定数関数の導関数
関数y=xnの導関数は y’=nxn-1
定数関数y=Cの導関数は Y'=0

導関数の公式
u、vはxの関数とし、k、lは定数とする。
   定数倍 (ku)’=ku’
   和    (u+v)’=u’+v’
   まとめて (ku+lv)’=ku’+lv’

Point2 例題
1. 次の関数を微分せよ。また、f’(2)を求めよ。
 (ア) f(x)=4x3+2x     (イ) f(x)=2x3+x2-9x-4
 (ウ) f(x)=(x-1)(2x+3) (エ) f(x)=(-2x+1)3

2. f(x)は3次の整式で、x3の係数が1、f(1)=2、f(-1)=-2、f’(-1)=0である。このとき、f(x)を求めよ。

3. 球の半径が1mから毎秒10cmの割合で大きくなるとする。
 (1) 10秒後における球の表面積の変化率を求めよ。
 (2) 球の半径が3mになるときの球の体積の時間に対する変化率を求めよ。

Point3 解答
1. (ア) f’(x)=12x2+2   f’(2)=50
   (イ) f’(x)=6x2+2x-9   f’(2)=19
   (ウ) f’(x)=4x+1   f’(2)=9
   (エ) f’(x)=-24x2+24x-6   f’(2)=-54

2. f(x)=x3+ax2+bx+c とおくと f’(x)=3x2+2ax+b
   f(1)=1+a+b+c=2
   f(-1)=-1+a-b+c=-2
   f’(-1)=3-2a+b=0
   ∴a=2、b=1、c=-2
   したがって f(x)=x3+2x2+x-2

3. (1) t秒後の球の半径をrm、表面積をS㎡とする。
     条件から r=1+0.1t ∴S=4π(1+0.1t)2…①
     ①の両辺をtで微分すると、 dS/dt=4π・2・0.1(1+0.1t)…②
     t=10とおいて 1.6π㎡/秒
   (2) 体積をV㎥とする。 条件からr=1+0.1t ∴V=4/3π(1+0.1t)3…①
     ①の両辺をtで微分すると、 dV/dt=4/3π・3・0.1(1+0.1t)2…②
     1+0.1t=3からt=20 ∴t=20とおいて 3.6π㎥/秒

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