複素数
Point1 基礎事項
複素数
@ 複素数 a+bi {実数a (b=0)
            {虚数a+bi (b≠0)
 特に純虚数bi (a=0、b≠0)

A 複素数の相等 a+bi=c=di⇔a=c、b=d
             特にa+bi=0⇔a=0、b=0

複素数の計算
@ 共役な複素数
   a+biとa−biを、互いに共役な複素数という。
   互いに共役な複素数の和と積は実数である。

A 複素数の四則計算
 加法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
 減法 (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
 乗法 (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
 除法 (c+di)/(a+bi)=(ac+bd)/(a2+b2)+(ad−bc)/(a2+b2)i

負の数の平方根
a>0のとき √−a=√ai 特に√−1=i
負の数−aの平方根は√ai−√aiである。

Point2 例題
次の計算をせよ。
(1) (2+i)2

(2) (3+2i)/(1−5i)+(1−2i)/(1+5i)

次の等式を満たす実数x、yの値をそれぞれ求めよ。
(3) (4+2i)x+(1+4i)y+7=0

(4) (x+2yi)(1+i)=3−2i

(5) 2乗すると6iになるような複素数x+yi(x、yは実数)はちょうど2つ存在する。
   このx、yの値を求めよ。

Point3 解答
(1) 与式=4+4i+i23+4i

(2) 与式=有理化して、=(−8+5i)/13

(3) 展開して整理すると、4x+y+7+2xi+4yi=0
   ∴4x+y+7=0、2x+4y=0
   これを解いて、x=−2、y=1

(4) x−2y−3=0、x+2y+2=0
   これを解いて、x=1/2、y=−5/4

(5) x=√3のときy=√3、x=−√3のときy=−√3

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