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加法定理
Point1 基礎事項
加法定理
1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
   sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

2. cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
   cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3. tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)
   tan(α−β)=(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)

2直線のなす角
交わる2直線 y=m1x+n1、y=m2x+n2 がx軸の正の向きとなす角をそれぞれΘ1、Θ2とし、0≦Θ21<πとする。
このとき、Θ’=Θ1−Θ2は2直線のなす角(0<Θ’<π)であり、特に2直線が垂直でないとき、2直線のなす鋭角をΘとすると tanΘ=|(m1−m2)/(1+m1m2)| が成り立つ。

Point2 例題
1. 次の等式を証明せよ。
 cos(α+β)cos(α−β)=cos2α−sin2β=cos2β−sin2α

2. 直線y=mx(m>0)とx軸とのなす角は、直線y=2xと直線y=3xとがなす角に等しい。
  このとき、mの値を求めよ。

3. 2直線x−3y+3=0、2x−y−1=0のなす角鋭角Θを求めよ。

Point3 解答
1. (証)cos(α+β)cos(α−β)=(cosαcosβ−sinαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)
    =cos2αcos2β−sin2αsin2β=cos2α(1−sin2β)−(1−cos2α)sin2β
    =cos2α−sin2β=(1−sin2α)−(1−cos2β)=cos2β−sin2α (終)

2. 直線y=2xとx軸のなす角をα、直線y=3xとx軸のなす角をβとすると、
   tanα=2、tanβ=3 である。
   このとき、y=2xとy=3xのなす角はβ−αで
   m=tan(β−α)=(tanβ−tanα)/(1+tanβtanα)=1/7

3. x−3y+3=0→y=x/3+1   2x−y−1=0→y=2x−1
   ∴この2つは平行でも垂直でもない。
   tanΘ=|(1/3−2)/{1+(1/3)・2}|=1
   0<Θ<π/2であるから、Θ=π/4

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