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関数の増減と極大・極小
Point1 基礎事項
関数の増減
ある区間で常に
   f’(x)>0 ならば f(x)はその区間で単調に 増加 する。
   f’(x)<0 ならば f(x)はその区間で単調に 減少 する。
   f’(x)=0 ならば f(x)はその区間で     定数 である。

増減表とは,関数  のグラフの概略を描くために,  の符号を求めて関数  の増加および減少の様子を表にまとめたものである。

     
+ 0 - 0 +
32 0

関数の極大・極小
@ 関数y=f(x)の極値を求めるには、f’(x)=0となるxの値を求め、その前後におけるf’(x)の符号を調べる。

A f’(x)の符号がx=aの前後で
     正から負 に変わるとき、f(a)は 極大値
     負から正 に変わるとき、f(a)は 極小値
極大値と極小値をまとめて 極値 という。


Point2 例題
1. xについての3次関数f(x)=x3+px2+27xがある。f(x)が単調に増加する関数となるpの最大値を求めよ。

2. 次の関数の極値を求めよ。また、そのグラフをかけ。
 (1) y=2x3−6x−4     (2) y=|x3−x2

Point3 解答
1. 3次関数f(x)が単調増加関数である条件は、常にf’(x)≧0が成り立つことである。
   よって、判別式Dについて D/4=p2−3・27≦0
   これを解いて −9≦p≦9 よってpの最大値は

2. (1) 増減表     x=−1のとき極大値0、x=1のとき極小値−8
・・・ −1 ・・・ ・・・
y’
極大 極小

(2) y’=3x2−2x=x(3x−2)   x=0,2/3
   増減表     x=2/3のとき極大値4/27、x=0,1のとき極小値0
・・・ ・・・ 2/3 ・・・
y’
極大 極小

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