Point１基礎事項
場合の数の数え方
起こりうる全ての場合をもれなく重複する事なく数え上げる。
�@辞書式配列法　辞書の単語のようにアルファベット順に並べる方式
�A樹形図(tree)　各場合を順次枝分かれの図で書き表す方式

和の法則、積の法則
�@和の法則
　2つの事柄A,Bは同時に起こらないとする。Aの起こり方がm通り、Bの起
こり方がｎ通りならば、A,Bのどちらかが起こる場合の数はｍ＋ｎ通りで
ある。
�A積の法則
　2つの事柄A,BがあってAの起こり方はｍ通りありそのおのおのについて
Bの起こり方がｎ通りずつあるならば、AとBがともにおこる場合の数は、
mn通りである。

また、�@、�Aとも3つ以上の事柄A,B,C,…についても同様の事が成り立つ。

Point2　例題
(1)a,a,b,b,cの5個の文字から4個を選んで1列に並べる方法は何通りあるか。また、そのうちa,b,cの全ての文字が現れるのは何通りあるか。

(2)500円、100円、10円の3種類の硬貨が沢山ある。この3種類全ての硬貨を使って2000円を支払う場合の数を求めよ。

(3)0,1,2,2の4個の数字から3桁の整数が何通り作れるか。

(4)大きさの異なる2つのさいころを同時に投げるとき、目の和が8以上となる場合は何通りあるか。

(5)5400の正の約数は全部で何個あるか。またその約数の和を求めよ。

(6)整数700の約数の中で正の数かつ偶数であるものの個数とそれらの総和を求めよ。

(7)大中小3個のさいころを投げるとき目の積が4の倍数になる場合。

Point3　解答
(1)a2個、b2個選んだ場合の数は4!÷2!2!個ある。次に、a2個、b、cを選んだ場合の数は4!÷2!通り。また、b2個、a、cを選んだ場合の数は4!÷2!通りある。よって並べ方の総数は6+12+12=30通り。次に、3種類全ての文字が現れる場合は、全体からa2個b2個選んだ場合の数を引けば良いから30-6=24通り。

(2)まず問題文から、どの硬貨も必ず1枚使うという事が分かる。つまり、各硬貨1枚ずつで最低610円というのが決まってくる。よって、残額2000-610=1390円を、3枚の硬貨いずれかを使って支払う方法を考えれば良い。この時、金額の大きいほうから先に場合分けすると分け方が少なくてすむので500円硬貨を何枚使うかを基準にして考える。500x+100y+10z=1390
　500円硬貨を2枚使うと…(←500円硬貨は2枚以内でないと1390円を超えてしまう)
100y+10z=390→この式を両辺÷10してやると計算が楽。→10y+z=39
よって考えられるyとzの組み合わせは、
(3,9)、(2,19)、(1,29)、(0,39)の4通り。
　x=1の時…10y+z=89、考えられるy、zの組み合わせは、
(8,9)、(7,19)、(6,29)、(5,39)…(0,89)の9通り。
　x=0の時…10x+z=139、考えられるy、zの組み合わせは、
(13,9)、(12,19)…(0,139)の14通り。
これらの場合は同時には起こらないから求める場合の数は4+9+14=27通り。

(3)数える。答えは9通り。

(4)大きさの異なる…→区別が付く。15通り。

(5)5400を素因数分解する。2の3乗×3の3乗×5の2乗が約数。
2のやつ…4通り、3のやつ…4通り、5のやつ…3通りの約数があるので
4×4×3で48個。
　約数の和は、
(1+2+2の2乗+2の3乗)(1+3+3の2乗+3の3乗)(1+5+5の2乗)=18600

(6)700の約数は2の2乗×5の2乗×7。このうち偶数であるのは２のやつ。更にこのうち1は偶数ではないので除外。すると求められる個数は、2×3×2=12個
　約数の和は、(2+2の2乗)(1+5+5の2乗)(1+7)=1488

(7)目の積が4の倍数→少なくとも1つが4の目+3つの目が全て4以外で少なくとも2つが2か6の目
　目の積が4の倍数でないのは
　(�@)3つとも奇数の時…3の3乗=27通り
　(�A)2つが奇数、1つが2か6の時…3の2乗×2×3=54通り
よって、6の3乗-(27+54)=135通り。

Point1　基礎事項
異なるｎ個のものの中から異なるr個を取り出して1列に並べる順列の総数は

nPr=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!

特に　nPn=n!=n(n-1)…3・2・1　ただし、0!=1、nP0=1　と定める。

Point2　例題
0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる4個の数字をとって並べて4桁の整数を作るものとする。次のものは全部で何個出来るか。
(1)整数　(2)3の倍数　(3)2400より大きい整数

a,b,c,d,eの5文字を並べたものをアルファベット順に1番目abcde,2番目abced,…120番目edcbaと番号をつける。
(1)cbedaは何番目か　(2)40番目は何か

A,B,C,D,E,F,Gの7人が1列に並ぶとき
(1)AとBが隣り合うような並び方は全部で何通りあるか
(2)AとBが両端にくるような並び方は全部で何通りあるか
(3)A,B,Cの3人が隣り合うような並び方は全部で何通りあるか
(4)A,Bの2人が間に2人だけ挟むような並び方は全部で何通りあるか

Point3　解答
(1)千の位は0以外の数→5通り、百の位は千の位で選んだ数以外の5通り、十の位は4通り、一の位は3通りだから、 5×5P3=300個

(2)3の倍数となる条件は、各位の和が3の倍数になる事。和が3の倍数になる組は、
(0,1,2,3),(0,1,3,5),(0,2,3,4),(0,3,4,5),(1,2,4,5)
千の位は0でないから、3!×4×3+4!=96個

(3)千の位が2のとき、百の位が4または5であれば条件を満たす。それらの個数は2×4P2=24個
千の位が3,4,5であるものはそれぞれ5P3=60個
ゆえに、2400より大きい整数は24+3×60=204個


(1)cbedaより前に並んでいる順列のうち
a〜〜〜〜で始まるものとb〜〜〜〜で始まるものはそれぞれ4!個ある。
次に、ca〜〜〜の形のものは3!個ある。同様に、cba〜〜、cbd〜〜もそれぞれ2!個ある。
その次がcbeadとcbedaの2個だから、
4!×2+3!×1+2!×2+2=60番目

(2)a〜〜〜〜は4!=24個。ba〜〜〜とbc〜〜〜は3!×2=12個。bda〜〜は2!=2
以上の合計は24+12+2=38個。38番目はbdaecだから39番目はbdcae。よって、40番目はbdcea

(1)A,B2人一組と残り5人の並び方は6P6通り。 A,Bの並び方は2通り。よって、6!×2=1440通り。

(2)5!×2=240通り。

(3)A,B,C3人1組と残り4人の並び方は5P5通り。 A,B,Cの並び方は3!通り。よって、5!×3!=720通り。

(4)A,Bの間に挟む2人の並び方は5P2通り。 A,Bの並び方は2通り。A,Bと間の2人の4人一組と残り3人の並び方は4!通り。よって、求める並び方は
5P2×2×4!=960通り。