Point1　基礎事項
接線の長さ

円外の1点Aからひいた2本の接線の長さは等しい。

接弦定理

円Oの弦ABとその端点Aにおける接線ATが作る∠BATの大きさは、その角の内部に含まれる弧ABに対する円周角∠ACBに等しい。

接弦定理の逆
円Oの弧ABと半直線ATが直線ABの同じ側にあって、弧ABに対する円周角∠ACBが∠BATに等しいとき、直線ATは点Aで円Oに接する。

Point2　例題
１．下の図のように、円Oに内接する△ABCがある。点Cにおける円Oの接線とABの延長との交点をPとする。また、点Pを通りBCに平行な直線とACの延長との交点をQとする。ただしAC＞BCとする。

（1）　△ABC∽△PCQであることを証明せよ。
（2）　CQ＝４、PQ＝７のとき、BCの長さを求めよ。

２．円Oの外部の点Pからこの円に接線PA、PBを引く。点Bを通り、PAと平行な直線が円Oと再び交わる点をCとするとき
（1）　直線ACは△PABの外接円の接線であることを証明せよ。
（2）　∠PAC＝114°であるとき、∠PBCの大きさを求めよ。

Point3　解答
１．（１）

△ABCと△PCQにおいて、BC//PQから
∠ACB＝∠PQC…�@
また　∠BCP＝∠CPQ、∠BCP＝∠BAC
よって　∠BAC＝∠CPQ…�A
�@、�Aより△ABC∽△PCQ

（２）　△ABC∽△APQから　△APQ∽△PCQ
よってPQ：CQ＝AQ：PQであるから　７：４＝AQ：７
∴AQ＝49/4
また、BC//PQからBC：PQ＝AC：AQ
ここで　AC：AQ＝33：49
よって、BC：７＝３３：４９から　BC＝33/7

２．（１）

図で、∠ABC＝aとする。
PA//BCから　∠PAB＝∠ABC＝a（錯角）
PA＝PBから　∠PAB＝∠PBA＝a
よって、△APBで　∠APB＝180°−2a…�@
また　∠ACB＝∠PBA＝a
よって、△ABCで　∠BAC＝180°−2a…�A
�@�Aより　∠APB＝∠BAC
よって、直線ACは△PABの外接円の接線である。

（２）
∠PAC＝∠PAB＋∠BAC＝a＋180°−2a＝180°−a
∴180°−a＝114°から　a＝66°
よって　∠PBC＝２×６６°＝１３２°