Point1　基礎事項
全事象Uの要素の個数をn(U)とし、事象Aの要素の個数をn(A)とする。全事象Uのどの根元事象も同様に確からしいとき、事象Aの起こる確率P(A)を、次の式で定める。

P(A)=n(A)/n(U)=事象Aの起こる場合の数/起こりうる全ての場合の数

Point2　例題
次の確率を求めよ。
(1)2個のさいころを投げるとき、目の和が素数である確率
(2)硬貨4枚を投げ、表裏2枚ずつ出る確率、全部裏の確率
(3)a3個、b2個、c1個を1列に並べるとき、両端が子音となる確率
(4)6個の白玉と3個の赤玉を円周上にでたらめに並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率

赤、青、黄の札が4枚ずつあり、どの色の札にも1から4までの番号が1つずつ書かれている。この12枚の札から無造作に3枚取り出したとき、次のことが起こる確率を求めよ。
(1)全部同じ色になる
(2)番号が全部異なる
(3)色も番号も全部異なる

20本のくじの中に当たりくじが5本ある。このくじをA,B,C,Dの4人がこの順に1本ずつ1回だけ引くとき
(1)A,B,C,Dが当たりくじをひく確率をそれぞれ求めよ
(2)Aがはずれを引き、Dが当たりくじを引く確率を求めよ
Point3　解答
(1)起こりうる全ての場合は　6×6=36
目の和が素数　2,3,5,7,11となる場合はそれぞれ1,2,4,6,2通りあり、合計して15通り.よって求める確立は　15/36=5/12

(2)起こりうる全ての場合は　2⁴=16通り
表裏2枚ずつ出る場合は　₄C₂=6通り。よってこの確率は　6/16=3/8
また、全部裏が出る確率は1通り。よってこの場合の確率は　1/16

(3)3個のaをa₁,a₂,a₃,2個のbをb₁,b₂とする。起こりうる場合は全部で6!通り。
このうち、両端が子音となる場合は₃P₂通り。その1通りに対し、間の4つの文字の
並べ方は4!通り。よって、求める確率は　(₃P₂×4!)/6!=1/5

(4)起こりうる全ての場合は、特定の白玉1個を固定して、残りの白5個、赤3個の順列であるから8!通り。そのうちで、赤玉同士が隣り合わない場合はまず白玉5個を並べ、その間の6箇所のうち3箇所に赤玉3個を並べればよいから5!×₆P₃通り。よって、求める確率は　(₅P₅×₆P₃)/₈P₈=5/14

(1)12枚の札から3枚の札を取り出す方法は₁₂C₃通り。
赤、青、黄のどの色が同じになるかが₃C₁通り。その色についてどの番号を取り出すかが₄C₃通り。ゆえに、求める確率は　3/55

(2)どの3つの番号を取り出すかが₄C₃通り。その1通りに対し色の選び方は3³通りずつあるから番号が全部異なる場合は₄C₃×3³通り。ゆえに　27/55

(3)どの3つの番号を取り出すかが₄C₃通りあり、取り出した3つの番号の色の選び方が₃P₃通りあるから、色も番号も全部異なる場合は₄C₃×₃P₃通り。
ゆえに、求める確率は　6/55

(1)A,B,C,Dがこの順にくじを1本ずつ引くとき、引き方の総数は₂₀P₄通り。
Aが当たりくじを引く場合のくじの引き方は₅P₁×₁₉P₃通り。同様に、B,C,Dが当たりくじを引く場合のくじの引き方もそれぞれ₅P₁×₁₉P₃通りであるからA,B,C,Dが当たりくじを引く確率は全て等しく　1/4

(2)Aがはずれくじを引き、Dが当たりくじを引く場合のくじの引き方は
₁₅P₁×₅P₁×₁₈P₂通り。よって、　15/76

Point1　基礎事項
任意の事象Aに対して0≦P(A)≦1,
全事象U,空事象φに対して　P(U)=1,P(φ)=0
積事象
和事象
排反事象
加法定理
余事象

Point2　例題
袋の中に赤玉1個、黄玉2個、緑玉3個、青玉4個の合わせて10玉が入っている。この中から一度に3個の玉を取り出すとき次の確率を求めよ。
(1)3個の玉の色が全て同じである確率
(2)3個の玉の色が全て異なる確率

2つの組A,Bがあって各組は、A組:男子2人、女子3人;　B組:男子4人、女子1人　のように構成されている。この2つの組を合わせた合計10人の生徒から任意に3人の委員を選ぶとき、次の確率を求めよ。
(1)3人の委員の中にいずれの組の女子生徒も含まれる確率
(2)3人の委員がB組の生徒だけになるか、または男子生徒だけになる場合の確率

(1)3個のさいころを投げて出た目をa,b,cとするとき
(a-b)(b-c)(c-a)=0　となる確率を求めよ
(2)さいころを3回投げて、出た目の数全部の積をXとする。
(ｱ)X>2となる確率を求めよ。　(ｲ)Xが5の倍数となる確率を求めよ。

1から6までの数字から3つを選んで左から順に並べる。このとき、左からk番目の数をa_k(k=1,2,3)とする。
(1)a₂=2またはa₃=3である確率を求めよ。
(2)a_k=kとなる場合の数がx(0≦x≦3)である確率をP(x)とするとき、P(0)、P(1)、
P(2)、P(3)をそれぞれ求めよ。

Point3　解答
(1)₃C₃/₁₀C₃+₄C₃/₁₀C₃=1/24
(2)1･2･3/₁₀C₃+1･2･4/₁₀C₃+1･3･4/₁₀C₃+2･3･4/₁₀C₃=5/12

(1)₃C₂/₁₀C₃+(₃C₁×₆C₁)/₁₀C₃=7/40
(2)3人の委員が、B組の生徒だけになる事象をE,男子生徒だけになる事象をFとするとP(E)=₅C₃/₁₀C₃=1/12, P(F)=₆C₃/₁₀C₃=1/6,
P(E∩F)=₄C₃/₁₀C₃=1/30
よって、求める確率は　1/12+1/6-1/30=13/60

(1)求める確率は「a-b,b-c,c-aのうち少なくとも1つが0である」の確率である。この余事象を使って解く。すなわち「a,b,cが互いに異なる」事象である.
よって、 1-5/9=4/9
(2)(ｱ)A:「X>2」とすると、Aの余事象は「X≦2」である。
　[1]X=1のとき、X=1・1・1から目の出方は1通り。
　[2]X=2のとき、X=1・1・2から目の出方は3通り。
目の出方は全体で6³通りあるから、[1][2]からP(Aの余事象)=1/54
よって、　1-1/54=53/54
　(ｲ)B:「Xが5の倍数」、すなわち「少なくとも1つが5」の余事象はBの余事象:「3つとも5でない」である。
よって、　1-5³/6³=91/216

(1)a₂=2,a₃=3である事象をそれぞれA,Bとする。3つの数の並べ方の総数は₆P₃通り。よって、求める確率は　₅P₂/₆P₃+₅P₂/₆P₃-₄P₁/₆P₃=3/10
(2)[1]x=1のとき、例えば、a₁=1の場合、a₂≠2かつa₃≠3である。
a₂=3ならば、a₃は₄P₁通り。a₂≠3ならば、a₂は₃P₁通り、a₃は₃P₁通りで3×3=9通り。他の場合も同様であるから、P(1)=13/40
　[2]x=2のとき、例えばa₁=1,a₂=2の場合、a₃≠3であるからa₃は₃P₁通り。
よって　P(2)=3/40
　[3]x=3のとき、a1=1,a2=2,a3=3の1通りである。ゆえに　1/120
[1][2][3]から　1-(13/40+3/40*1/120)=71/120