三角形と比・三角形の五心
Point1 基礎事項
三角形と比
(1) (2)
上の図(1)の△ABCにおいて、次のようなことが成り立つ。
[1] DE//BC⇒AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
[2] AD：DB＝AE：EC
これらの逆も常に成り立つ。
この定理は図(2)のような図形でも成り立つ。
中点連結定理
上の図の△ABCにおいて、AM＝MB、AN＝NCならば、
[1] MN//BC
[2] MN＝1/2BC
Point2例題
(1)△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる任意の点D、Eをとる。DからBEに平行に、また、EからCDにに平行に直線を引き、AC、ABとの交点をそれぞれF、Gとすると、GFはBCに平行であることを証明せよ。
(2)△ABCの辺BC上の点Pについて、AB：AC＝BP：PCが成り立つならばAPは∠Aの二等分線である……(*)
四角形ABCDの2つの内角∠A、∠Cの二等分線の交点が、対角線BD上にあるならば、2つの内角∠B、∠Dの二等分線の交点も対角線AC上にあるということを、(*)を使って証明せよ。
Point3 解答
(1)△ABEにおいて、DF//BEであるから AD/AB=AF/AE…①
△ADCにおいて、GE//DCであるから AG/AD=AE/AC…②
①と②の辺々をかけると AD/AB・AG/AD＝AF/AE・AE/AC
∴AG/AB＝AF/AC
よって GF//BC
(2)∠A、∠Cの二等分線の交点をE、∠Bの二等分線とACの交点をFとすると、
AE、CEがそれぞれ、∠A、∠Cの二等分線であることから
△ABDにおいて AB/AD＝BE/DE、△BCDにおいて BC/CD＝BE/DE
∴ AB/AD＝BC/CD から AB/BC＝AD/CD…①
BFが∠Bの二等分線であることから AF/CF＝BA/BC
よって、①から AF/CF＝AD/CD
したがって、(*)よりFDは∠Dの二等分線である。
ゆえに、結論が成り立つ。
Point1 基礎事項
重心
三角形の3つの中線は1点で交わり、その点は各中線を２：１に内分する
外心
三角形の３辺の垂直二等分線は１点で交わり、その点を中心として外接円がかける
内心
三角形の３つの内角の二等分線は１点で交わり、その点を中心として内接円がかける
垂心
三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は１点で交わる
(証明)
上図の△ＡＢＣにおいて、各頂点を通り、対辺に平行な線分を引き、△ＰＱＲを作る。
このとき、Ａは辺ＱＲの中点で、ＡＤは辺ＱＲの垂線である。
同様に、Ｂは辺ＰＲの中点で、ＢＥは辺ＰＲの垂線である。
よって、垂線ＡＤ、ＢＥの交点Ｈは、△ＰＱＲの外接円の中心である。
したがって、辺ＰＱの垂直二等分線ＣＦは、点Ｈを通る。
傍心
三角形の１辺と残りの２辺の延長上で接する円を傍接円といい、その中心を傍心という→△ＡＢＣの∠Ａの角の二等分線と、∠Ｂ、∠Ｃの外角（辺ＢＣに対して、点Ａと反対側に取る）の２等分線は一点で交わる。
(証明)
方針→∠Ｂの外角の二等分線と、∠Ｃの外角の二等分線の交点Ｊを考える。
点Ｊから、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢにおろした垂線の足を、Ｄ，Ｅ，Ｆとする。
内心の時と同様に、ＪＦ＝ＪＤ および、ＪＤ＝ＪＥ より、
ＪＦ＝ＪＥ…①
となり、△ＪＡＦと△ＪＡＥにおいて、
JF＝JE…①
∠ＡＦＪ＝∠ＡＥＪ＝９０°…②
斜辺は共通…③
①②③より、△ＪＡＦと△ＪＡＥは合同であり、ＡＪは∠ＢＡＣの二等分線となる。
以上より、∠Ａの二等分線と、∠Ｂ、∠Ｃの外角の二等分線は一点Ｊで交わる。
Point2例題
△ABCの外心をO、垂心をHとし、Oから辺BCに下ろした垂線をOMとすると、
AH＝２OMであることを証明せよ。
(1) △ABCの辺AB、AC上にそれぞれ頂点と異なる点D、Eをとるとき
△ADE/△ABC＝AD/AB・AE/ACが成り立つ事を証明せよ。
(2) △ABCの辺BC、CA、ABを３：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする。△ABCと△DEFの面積比を求めよ。
Point3 解答
△ABCの外接円と直線OCとの交点をDとすると、Mは辺BCの中点、Oは線分DCの中点であるから、中点連結定理より DB＝２OM…①
線分CDは外接円の直径であるから DB⊥BC、AH⊥BCより DB//AH
DA⊥AC、BH⊥ACより DA//BH
∴四角形ADBHは平行四辺形である。
よって AH＝DB…②
①②より AH＝２OM
（１）
2点C、Dを結ぶ。
△ADEと△ADCは底辺AE、ACからの高さが等しいから
△ADE/△ADC＝AE/AC…①
△ADCと△ABCは底辺AD、ABからの高さが等しいから
△ADC/△ABC＝AD/AB…②
①、②の辺ぺんをかけると AE/AC・AD/AB
∴△ADE/△ADC・△ADC/△ABC＝AD/AB・AE/AC
（２）
（１）より △AFE/△ABC＝AF/AB・AE/AC＝（３/５）・(２/５)＝６/２５
△BDF/△ABC＝６/２５
△CED/△ABC＝６/２５
ここで △DEF＝△ABC－△AFE－△BDF－△CED
両辺を△ABCで割ると
△DEF/△ABC＝１－６/２５－６/２５－６/２５＝７/２５
∴△ABC：△DEF＝２５：７
三角形と比
(1) (2)
上の図(1)の△ABCにおいて、次のようなことが成り立つ。
[1] DE//BC⇒AD：AB＝AE：AC＝DE：BC
[2] AD：DB＝AE：EC
これらの逆も常に成り立つ。
この定理は図(2)のような図形でも成り立つ。
中点連結定理
上の図の△ABCにおいて、AM＝MB、AN＝NCならば、
[1] MN//BC
[2] MN＝1/2BC
Point2
(1)△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる任意の点D、Eをとる。DからBEに平行に、また、EからCDにに平行に直線を引き、AC、ABとの交点をそれぞれF、Gとすると、GFはBCに平行であることを証明せよ。
(2)△ABCの辺BC上の点Pについて、AB：AC＝BP：PCが成り立つならばAPは∠Aの二等分線である……(*)
四角形ABCDの2つの内角∠A、∠Cの二等分線の交点が、対角線BD上にあるならば、2つの内角∠B、∠Dの二等分線の交点も対角線AC上にあるということを、(*)を使って証明せよ。
Point3
(1)△ABEにおいて、DF//BEであるから AD/AB=AF/AE…①
△ADCにおいて、GE//DCであるから AG/AD=AE/AC…②
①と②の辺々をかけると AD/AB・AG/AD＝AF/AE・AE/AC
∴AG/AB＝AF/AC
よって GF//BC
(2)∠A、∠Cの二等分線の交点をE、∠Bの二等分線とACの交点をFとすると、
AE、CEがそれぞれ、∠A、∠Cの二等分線であることから
△ABDにおいて AB/AD＝BE/DE、△BCDにおいて BC/CD＝BE/DE
∴ AB/AD＝BC/CD から AB/BC＝AD/CD…①
BFが∠Bの二等分線であることから AF/CF＝BA/BC
よって、①から AF/CF＝AD/CD
したがって、(*)よりFDは∠Dの二等分線である。
ゆえに、結論が成り立つ。
Point1
重心
三角形の3つの中線は1点で交わり、その点は各中線を２：１に内分する
外心
三角形の３辺の垂直二等分線は１点で交わり、その点を中心として外接円がかける
内心
三角形の３つの内角の二等分線は１点で交わり、その点を中心として内接円がかける
垂心
三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は１点で交わる
(証明)
上図の△ＡＢＣにおいて、各頂点を通り、対辺に平行な線分を引き、△ＰＱＲを作る。
このとき、Ａは辺ＱＲの中点で、ＡＤは辺ＱＲの垂線である。
同様に、Ｂは辺ＰＲの中点で、ＢＥは辺ＰＲの垂線である。
よって、垂線ＡＤ、ＢＥの交点Ｈは、△ＰＱＲの外接円の中心である。
したがって、辺ＰＱの垂直二等分線ＣＦは、点Ｈを通る。
傍心
三角形の１辺と残りの２辺の延長上で接する円を傍接円といい、その中心を傍心という→△ＡＢＣの∠Ａの角の二等分線と、∠Ｂ、∠Ｃの外角（辺ＢＣに対して、点Ａと反対側に取る）の２等分線は一点で交わる。
(証明)
方針→∠Ｂの外角の二等分線と、∠Ｃの外角の二等分線の交点Ｊを考える。
点Ｊから、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢにおろした垂線の足を、Ｄ，Ｅ，Ｆとする。
内心の時と同様に、ＪＦ＝ＪＤ および、ＪＤ＝ＪＥ より、
ＪＦ＝ＪＥ…①
となり、△ＪＡＦと△ＪＡＥにおいて、
JF＝JE…①
∠ＡＦＪ＝∠ＡＥＪ＝９０°…②
斜辺は共通…③
①②③より、△ＪＡＦと△ＪＡＥは合同であり、ＡＪは∠ＢＡＣの二等分線となる。
以上より、∠Ａの二等分線と、∠Ｂ、∠Ｃの外角の二等分線は一点Ｊで交わる。
Point2
△ABCの外心をO、垂心をHとし、Oから辺BCに下ろした垂線をOMとすると、
AH＝２OMであることを証明せよ。
(1) △ABCの辺AB、AC上にそれぞれ頂点と異なる点D、Eをとるとき
△ADE/△ABC＝AD/AB・AE/ACが成り立つ事を証明せよ。
(2) △ABCの辺BC、CA、ABを３：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする。△ABCと△DEFの面積比を求めよ。
Point3
△ABCの外接円と直線OCとの交点をDとすると、Mは辺BCの中点、Oは線分DCの中点であるから、中点連結定理より DB＝２OM…①
線分CDは外接円の直径であるから DB⊥BC、AH⊥BCより DB//AH
DA⊥AC、BH⊥ACより DA//BH
∴四角形ADBHは平行四辺形である。
よって AH＝DB…②
①②より AH＝２OM
（１）
2点C、Dを結ぶ。
△ADEと△ADCは底辺AE、ACからの高さが等しいから
△ADE/△ADC＝AE/AC…①
△ADCと△ABCは底辺AD、ABからの高さが等しいから
△ADC/△ABC＝AD/AB…②
①、②の辺ぺんをかけると AE/AC・AD/AB
∴△ADE/△ADC・△ADC/△ABC＝AD/AB・AE/AC
（２）
（１）より △AFE/△ABC＝AF/AB・AE/AC＝（３/５）・(２/５)＝６/２５
△BDF/△ABC＝６/２５
△CED/△ABC＝６/２５
ここで △DEF＝△ABC－△AFE－△BDF－△CED
両辺を△ABCで割ると
△DEF/△ABC＝１－６/２５－６/２５－６/２５＝７/２５
∴△ABC：△DEF＝２５：７
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