種々の数列(1)
Point1 基礎事項
和の記号Σの性質
p、qは定数とする。
…めんどいのであとでつくります。
自然数、平方数、立方数の数列の和
…めんどいのでのちほど。。
Point2例題
(1) 次の数列の和をΣを用いてあらわし、その和を求めよ。
[1] 2,6,10,……,4n−2
[2] 12,32,52,……,第n項
(2) 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
[1] 1,1+4,1+4+7,……
[2] 1,1+2,1+2+22,……
(3) 次の数列の和を求めよ。
1・n,2(n−1),3(n−2),……,(n−1)・2,n・1
Point3 解答
(1)[1] Σ(4k−2)=4Σk−2Σ1=4・1/2n(n+1)−2n=2n2
[2] Σ(2k−1)2=Σ(4k2−4k+1)=4Σk2−4Σk+Σ1
=4・1/6n(n+1)(2n+1)−4・1/2n(n+1)+n
=2/3n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)+n
=1/3n{2(2n2+3n+1)−6(n+1)+3}
=1/3n(4n2−1)=1/3n(2n+1)(2n−1)
(2)[1] まず一般項を求める。
ak=1+4+7+……+{1+(k−1)・3}=1/2k{2+3(k−1)}
=1/2(3k2−k)
∴Sn=Σak=Σ1/2(3k2−k)=3/2Σk2−1/2Σk=1/2n2(n+1)
[2] ak=1+2+22+……+2k-1=2k−1
Sn=Σ(2k−1)=Σ2k−Σ1=2n+1−n−2
(3) この数列の第k項は k(n−k+1)=−k2+(n+1)k
∴S=Σ{−k2+(n+1)k}=1/6n(n+1)(2n+1)
和の記号Σの性質
p、qは定数とする。
…めんどいのであとでつくります。
自然数、平方数、立方数の数列の和
…めんどいのでのちほど。。
Point2
(1) 次の数列の和をΣを用いてあらわし、その和を求めよ。
[1] 2,6,10,……,4n−2
[2] 12,32,52,……,第n項
(2) 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
[1] 1,1+4,1+4+7,……
[2] 1,1+2,1+2+22,……
(3) 次の数列の和を求めよ。
1・n,2(n−1),3(n−2),……,(n−1)・2,n・1
Point3
(1)[1] Σ(4k−2)=4Σk−2Σ1=4・1/2n(n+1)−2n=2n2
[2] Σ(2k−1)2=Σ(4k2−4k+1)=4Σk2−4Σk+Σ1
=4・1/6n(n+1)(2n+1)−4・1/2n(n+1)+n
=2/3n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)+n
=1/3n{2(2n2+3n+1)−6(n+1)+3}
=1/3n(4n2−1)=1/3n(2n+1)(2n−1)
(2)[1] まず一般項を求める。
ak=1+4+7+……+{1+(k−1)・3}=1/2k{2+3(k−1)}
=1/2(3k2−k)
∴Sn=Σak=Σ1/2(3k2−k)=3/2Σk2−1/2Σk=1/2n2(n+1)
[2] ak=1+2+22+……+2k-1=2k−1
Sn=Σ(2k−1)=Σ2k−Σ1=2n+1−n−2
(3) この数列の第k項は k(n−k+1)=−k2+(n+1)k
∴S=Σ{−k2+(n+1)k}=1/6n(n+1)(2n+1)
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