種々の数列(1)
Point1 基礎事項
和の記号Σの性質
p、qは定数とする。

…めんどいのであとでつくります。

自然数、平方数、立方数の数列の和

…めんどいのでのちほど。。

Point2 例題
(1) 次の数列の和をΣを用いてあらわし、その和を求めよ。
 [1] 2,6,10,……,4n−2
 [2] 12,32,52,……,第n項

(2) 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
 [1] 1,1+4,1+4+7,……
 [2] 1,1+2,1+2+22,……

(3) 次の数列の和を求めよ。
   1・n,2(n−1),3(n−2),……,(n−1)・2,n・1

Point3 解答
(1)[1] Σ(4k−2)=4Σk−2Σ1=4・1/2n(n+1)−2n=2n2
[2] Σ(2k−1)2=Σ(4k2−4k+1)=4Σk2−4Σk+Σ1
     =4・1/6n(n+1)(2n+1)−4・1/2n(n+1)+n
     =2/3n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)+n
     =1/3n{2(2n2+3n+1)−6(n+1)+3}
     =1/3n(4n2−1)=1/3n(2n+1)(2n−1)

(2)[1] まず一般項を求める。
   ak=1+4+7+……+{1+(k−1)・3}=1/2k{2+3(k−1)}
     =1/2(3k2−k)
   ∴S=Σak=Σ1/2(3k2−k)=3/2Σk2−1/2Σk=1/2n2(n+1)
[2] ak=1+2+22+……+2k-1=2k−1
     Sn=Σ(2k−1)=Σ2k−Σ1=n+1−n−2

(3) この数列の第k項は k(n−k+1)=−k2+(n+1)k
   ∴S=Σ{−k2+(n+1)k}=1/6n(n+1)(2n+1)

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