Point1　基礎事項
等比数列
初項をa、公比をｒとする。
�@　定義
　　　a_n+1＝a_nr　（ｎ＝１，２，３，……）
　　　特に、a≠０、ｒ≠０のとき　a_n+1/a_n＝ｒ
�A　一般項
　　　a_n＝ar^n-1
�B　等比中項
　　　a,b,cは０ではないとする。
　　　数列a、b、cが等比数列⇔b²＝ac　（ｂがaとｃの等比中項）

等比数列の和
初項をa、公比をｒ、初項から第ｎ項ｌまでの和をS_nとする。
　　　ｒ≠１のとき　S_n＝a（１−ｒ^ｎ）/（１−ｒ）＝（a−ｌｒ）/（１−ｒ）
　　　ｒ＝１のとき　S_n＝na

Point2　例題
（１）　第２項が１６，第５項が５４である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし、公比は実数とする。

（２）　数列a、b、２、ｃ、１８は各項が正の等比数列である。このｔき、a、ｂ、ｃの値を求めよ。

（３）　｛a_n｝を初項a（a≠０）、公比ｒの等比数列とする。数列｛a_n²｝の初項から第ｎ項までの和Sを求めよ。

（４）　年利率ｒ、１年ごとの複利とする。ｎ年後に元利合計Sにするときの元金Tを求めよ。

（５）　初項a、公比ｒ（＜０）の等比数列｛a_n｝において、a₁、a₂、a₃の順番を入れ替えると等差数列になる。さらに、a₄＝８とする。このとき、a、rの値を求めよ。

Point3　解答
（１）　ar＝１６…�@　　　ar⁴＝５４…�A　　　∴ｒ＝3/2、a＝１６・2/3＝32/3

（２）　数列２，ｃ，１８において、ｃ²＝２・１８、ｃ＞０から　ｃ＝６
　　　よって、数列ｂ，２，ｃにおいて４＝ｂｃから　ｂ＝4/c＝2/3
　　　さらに、数列a，ｂ，２においてｂ²＝２aから　a＝1/2ｂ2＝2/9

（３）　数列｛a_n｝の一般項はa_n＝ar^n-1であるから、a_n²＝（arn-1）²＝a²（ｒ²）^n-1
　　　[１]　ｒ²≠１　すなわち　ｒ≠１、ｒ≠−１のとき
　　　　　Ｓ＝a²｛（１−（ｒ²）ⁿ｝/（１−ｒ²）＝a²（１−ｒ²ⁿ）/（１−ｒ²）
　　　[２]　ｒ²＝１　すなわち　ｒ＝±１のとき
　　　　　Ｓ＝na²

（４）　元金Ｔのｎ年後の元利合計はＴ（１＋ｒ）ⁿであるから　Ｔ（１＋ｒ）ⁿ＝Ｓ
　　　∴Ｔ＝Ｓ/（１＋ｒ）ⁿ

（５）　条件から、a₁＝a、a₂＝ar、a₃＝ar²、a₄＝ar³と表されて、a₄＝ar³＝８…�@
　　　a₄＞０、ｒ＜０であるから、�@よりa＜０
　　　∴a＜０、ar＞０、ar²＜０からa₁＜０、a₂＞０、a₃＜０
　　　よって、a₁、a₂、a₃が作る数列が等差数列となるのは、等差中項がa₃またはa₁
　　　の場合である。
　　　[１]　a₃が等差中項のとき　２a₃＝a₁＋a₂から２ar²＝a＋ar
　　　　　a≠０から２ｒ²−ｒ−１＝０
　　　　　∴（２ｒ＋１）（ｒ−１）＝０　ｒ＜０から　ｒ＝−1/2
　　　　　このとき、�@から　a＝−６４
　　　[２]　a₁が等差中項のとき　２a₁＝a₂＋a₃から２a＝ar＋ar²
　　　　　a≠０からr²＋r−２＝０
　　　　　∴（ｒ＋２）（ｒ−１）＝０　ｒ＜０から　ｒ＝−２
　　　　　このとき、�@から　a＝−１
　　　[１][２]から　（a，ｒ）＝（−６４，−1/2），（−１，−２）