Point1　基礎事項
等差数列
初項をa、公差をdとする。
�@　定義
　　　a_n+1＝a_n＋ｄ
　　　すなわちa_n+1−a_n＝ｄ　（ｎ＝１，２，３，……）である数列｛a_n｝
�A　一般項
　　　a_n＝a＋（ｎ−１）ｄ

等差数列の性質
�@　ｄ≠０のとき、a_nはｎの１次式で表される。
�A　等差中項
　　　数列a,b,cが等差数列⇔２ｂ＝a＋c　（ｂがａとｃの等差中項）

等差数列の和
初項ａ、公差ｄ、末項ｌ、項数ｎの等差数列の和をＳ_ｎとする。
　　　Ｓ_ｎ＝1/2n（ａ＋ｌ）＝1/2n｛２ａ＋（ｎ−１）ｄ｝

調和数列
数列｛ａ_n｝（ただし、すべてのｎに対してa_n≠０）において、数列｛1/a_n}が等差数列をなすとき、もとの数列｛a_n｝を　調和数列　という。

Point2　例題
（１）　第５９項が７０，第６６項が８４の等差数列の一般項を求めよ。また、初めて正になるのは第何項か。

（２）　一般項がa_n＝ｐｎ＋ｑ（ｐ、ｑは定数）である数列｛a_n｝について、一般項がＣ_ｎ＝ａ_kn（ｋは自然数の定数）である数列｛Ｃ_ｎ｝は等差数列であることを証明し、その初項と公差を求めよ。

（３）　等差数列をなす３数があってその和は２７，積は６９３である。この３数を求めよ。

（４）　第８項が３７，第２４項が１１７の等差数列の第２０項から第５０項までの和。

（５）　初項から第５項までの和が４４５，初項から第１０項までの和が７６５の等差数列がある。このとき、この等差数列の初項からの和が最大になるのは第何項までの和か。また、そのときの和を求めよ。

（６）　１００から２００までの整数のうち、２または３の倍数であるものの和を求めよ。

（７）　２つの数ｐ、ｑがある。ｐを初項、ｑを公差とする等差数列を｛a_n｝、ｑを初項、ｐを交差とする等差数列を｛ｂ_ｎ｝とする。a₃＝２２，b₃＝２０であるとき、ｐ＝（ア　　　）、ｑ＝（イ　　　）である。２つの数列｛a_n｝と｛b_n｝に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列｛ｃ_ｎ｝を作るとき、数列｛ｃ_ｎ｝は、初項（ウ　　　）、公差（エ　　　）の等差数列となる。

Point3　解答
（１）　a₅₉＝a＋５８ｄ＝７０、a₆₆＝a＋６５ｄ＝８４
　　　この連立方程式を解いて、a＝−４６，ｄ＝２
　　　よって一般項は　a_n＝−４６＋（ｎ−１）・２＝２ｎ−４８
　　　また、an＞０とすると、２ｎ−４８＞０からｎ＞２４
　　　したがって、初めて正になるのは第２５項。

（２）　（証明）
　　　C_n＝a_kn＝ｐ（ｋｎ）＋ｑ＝ｋｐ・ｎ＋ｑ　（ｋは自然数の定数）
　　　∴C_n+1−C_n＝｛ｋｐ・（ｎ＋１）＋ｑ｝−｛ｋｐ・ｎ＋ｑ｝＝ｋｐ　（一定）
　　　よって、数列｛C_n｝は等差数列である。（証明終了）
　　　また、初項はC₁＝ｋｐ＋ｑ、公差はｋｐである。

（３）　この等差数列をなす３数をa−ｄ、a、a＋ｄとすると、
　　　（a−ｄ）＋a＋（a＋ｄ）＝２７、　（a−ｄ）a（a＋ｄ）＝６９３
　　　∴３a＝２７…�@　　　　　a（a²−ｄ²）＝６９３…�A
　　　�@からa＝９、これを�Aに代入してｄ＝±２
　　　よって、求める３数は９−２、９、９＋２　したがって　７，９，１１

（４）　a₈＝a＋７ｄ＝３７、a₂₄＝a＋２３ｄ＝１１７　　　これを解いてa＝２、ｄ＝５
　　　S₅₀＝５０（２・２＋４９・５）/２＝６２２５
　　　S₁₉＝１９（２・２＋１８・５）/２＝８９３
　　　よって、S＝６２２５−８９３＝５３３２

（５）　一般項は　an＝９９＋（ｎ−１）（−５）＝−５ｎ＋１０４
　　　求める和が最大になるときは項がすべて正の数のときであるから、
　　　an＝−５ｎ＋１０４＞０とすると、ｎ＜１０４/５＝２０．８
　　　∴an＞０を満たす最大のｎは２０である。よって、その和は
　　　２０｛２・９９＋（２０−１）・（−５）｝/２＝１０３０

（６）　１００から２００までの２の倍数は、初項１００，末項２００，項数５１の等差数列
　　　であるから、その和は　1/2・５１（１００＋２００）＝７６５０
　　　１００から２００までの３の倍数は、初項１０２，末項が１９８，項数が３３の等差
　　　数列であるから、その和は　1/2・３３（１０２＋１９８）＝４９５０
　　　６の倍数の和は、1/2・１７（１０２＋１９８）＝２５５０
　　　求める和は、７６５０＋４９５０−２５５０＝１００５０

（７）　アｐ＝６　　　イｑ＝８　　　ウ１４　　　エ２４