落体の運動
Point1 基礎事項
地球上にある物体は常に鉛直下向き(地球の中心の向き)に力を受けている。この力を
重力 といい、初速度0で重力だけを受けて落下する運動を 自由落下 という。
物体の自由落下の様子を観測すると、落下速度は時間と共に大きくなっていく事が分かる。そこで、この加速度を求めてみると、物体の重さによらずほぼ一定の値が得られる。これを 重力加速度 とよび、その大きさを g で表す。gの値はほぼ 9.8m/s2 である。
高校の物理では基本的にこの値を使用して計算する。
自由落下は初速度0[m/s],加速度g,[m/s2],の等加速度直線運動である。よって自由落下の公式は以下の3つとなる。(直線運動の3式から次の公式が出来る),y=x.
・V=gt
・y=1/2gt2
・V2=2gy
物体を鉛直方向に投げ下ろしたり、投げ上げたりする運動を 鉛直投射 という。
鉛直投げ下ろしの公式
・V=gt+Vo
・y=1/2gt2+Vot
・V2-Vo2=2gy
鉛直投げ上げの公式
・V=-gt+Vo
・y=-1/2gt2+Vot
・V2-Vo2=-2gy
鉛直投げ上げは、最高点に関して対称な運動である。
海岸の崖から小石を水平方向に投げると、小石は弧を描いて飛んでいき、やがて水面に落下する。このような、初速度Voベクトルで水平方向に投げられた物体の運動を 水平投射 という。
このように物体が曲線運動をするときは速度や加速度をx,y軸の成分に分け、それぞれの軸上における直線運動に分けると理解しやすい。
すると水平投射とは 水平方向に等速直線運動、鉛直方向に自由落下をしていることが分かる。
水平投射の式は
水平方向:Vx=Vo(一定) , x=Vot
鉛直方向:Vy=gt , y=1/2gt2 , Vy2=2gy
斜め上に投げたボールは弧を描いて飛んでいき、やがて地面に落ちる。このような初速度Voベクトルで水平からθの角度で斜め上向きに投げられた物体の運動を 斜方投射 という。
斜方投射も水平投射と同じように成分ごとに分けて考える。そこから分かる事は 水平方向に等速直線運動、鉛直方向に鉛直投げ上げ運動 をする事が分かる。
斜方投射の式は
水平方向:Vx=Vocosθ(一定) , x=Vocosθ・t
鉛直方向:Vy=-gt+Vosinθ , y=-1/2gt2+Vosinθ・t ,
Vy2-Vo2sin2θ=-2gy
Point2例題
(1)地上19.6mの高さから小球を静かに落とすと、何秒後に地面に到達するか。また、地 面に達するときの速さはいくらになるか。
(2)地上14.7mの高さから鉛直上向きに初速度9.8m/sで小石を投げ上げる。投げ上げ てt秒後の小石の変位yを上向きが正、下向きが正の場合についてそれぞれ求めよ。 また、この小石が地面に落下するのは何秒後か。
(3)水面からの高さ19.6mの所から水平方向に小石を投げたところ小石は水平距離で39.2m先の水面に落ちた。小石の初速度の大きさと水面に落ちるときの水面との角度を求めよ。
(4)速さ7.0m/sで等速直線運動をしている客船内で客船から見て速さVo[m/s]で床上から小球を鉛直上向きに投げたら2.5mの高さまで上がって床に落ちた。このとき初速度Voと、投げてから落ちるまでに客船は何m進んだかを求めよ。
Point3 解答
(1)y=1/2gt2から t=√2×19.6/√9.8=2.0[s]
V=gtから V=9.8×2.0=19.6[m/s]
(2)y=-1/2gt2+Votに代入して、
上向きが正:y=-4.9t2+9.8t[m]
下向きが正:y=4.9t2-9.8t[m]
上向きを正にとると地面に落下したのはy=-14.7なので -14.7=9.8t-4.9t2
下向きを正にとると地面に落下したのはy=14.7なので 14.7=-9.8t+4.9t2
両式はともに 4.9(t-3.0)(t+1.0)=0 と変形されるので答えは3.0秒後。
(3)投げてから落下するまでの時間をtとすると、鉛直方向の変位について
19.6=1/2gt2 より t=2.0. この時間の間に水平距離で39.2m進んだので水平方向 の変位について 39.2=Vo×2.0 ゆえに Vo=19.6≒20[m/s]
落下時の速度の水平成分Vx,鉛直成分Vyは Vx=Vo=19.6 , Vy=gt=19.6
したがって tanθ=Vy/Vx=1. ゆえに求める角度はθ=45°
(4)客船から見た小球の運動は、初速度の水平成分V1=7.0[m/s],鉛直成分V0の斜 方投射となる。投げた所と最高点との間で等加速度直線運動の式を用いて
02-Vo2=2・(-9.8)・2.5 よってV0=7.0m/s
投げてから床に落ちるまでの時間をTとする。等加速度直線運動の式を落下時につ いて用いると 0=7.0T+1/2(-9.8)T2 T≠0であるからT=7.0/4.9≒1.43[s]
この間に客船の進んだ距離は V1T=7.0×7.0/4.9=10[m]
地球上にある物体は常に鉛直下向き(地球の中心の向き)に力を受けている。この力を
重力 といい、初速度0で重力だけを受けて落下する運動を 自由落下 という。
物体の自由落下の様子を観測すると、落下速度は時間と共に大きくなっていく事が分かる。そこで、この加速度を求めてみると、物体の重さによらずほぼ一定の値が得られる。これを 重力加速度 とよび、その大きさを g で表す。gの値はほぼ 9.8m/s2 である。
高校の物理では基本的にこの値を使用して計算する。
自由落下は初速度0[m/s],加速度g,[m/s2],の等加速度直線運動である。よって自由落下の公式は以下の3つとなる。(直線運動の3式から次の公式が出来る),y=x.
・V=gt
・y=1/2gt2
・V2=2gy
物体を鉛直方向に投げ下ろしたり、投げ上げたりする運動を 鉛直投射 という。
鉛直投げ下ろしの公式
・V=gt+Vo
・y=1/2gt2+Vot
・V2-Vo2=2gy
鉛直投げ上げの公式
・V=-gt+Vo
・y=-1/2gt2+Vot
・V2-Vo2=-2gy
鉛直投げ上げは、最高点に関して対称な運動である。
海岸の崖から小石を水平方向に投げると、小石は弧を描いて飛んでいき、やがて水面に落下する。このような、初速度Voベクトルで水平方向に投げられた物体の運動を 水平投射 という。
このように物体が曲線運動をするときは速度や加速度をx,y軸の成分に分け、それぞれの軸上における直線運動に分けると理解しやすい。
すると水平投射とは 水平方向に等速直線運動、鉛直方向に自由落下をしていることが分かる。
水平投射の式は
水平方向:Vx=Vo(一定) , x=Vot
鉛直方向:Vy=gt , y=1/2gt2 , Vy2=2gy
斜め上に投げたボールは弧を描いて飛んでいき、やがて地面に落ちる。このような初速度Voベクトルで水平からθの角度で斜め上向きに投げられた物体の運動を 斜方投射 という。
斜方投射も水平投射と同じように成分ごとに分けて考える。そこから分かる事は 水平方向に等速直線運動、鉛直方向に鉛直投げ上げ運動 をする事が分かる。
斜方投射の式は
水平方向:Vx=Vocosθ(一定) , x=Vocosθ・t
鉛直方向:Vy=-gt+Vosinθ , y=-1/2gt2+Vosinθ・t ,
Vy2-Vo2sin2θ=-2gy
Point2
(1)地上19.6mの高さから小球を静かに落とすと、何秒後に地面に到達するか。また、地 面に達するときの速さはいくらになるか。
(2)地上14.7mの高さから鉛直上向きに初速度9.8m/sで小石を投げ上げる。投げ上げ てt秒後の小石の変位yを上向きが正、下向きが正の場合についてそれぞれ求めよ。 また、この小石が地面に落下するのは何秒後か。
(3)水面からの高さ19.6mの所から水平方向に小石を投げたところ小石は水平距離で39.2m先の水面に落ちた。小石の初速度の大きさと水面に落ちるときの水面との角度を求めよ。
(4)速さ7.0m/sで等速直線運動をしている客船内で客船から見て速さVo[m/s]で床上から小球を鉛直上向きに投げたら2.5mの高さまで上がって床に落ちた。このとき初速度Voと、投げてから落ちるまでに客船は何m進んだかを求めよ。
Point3
(1)y=1/2gt2から t=√2×19.6/√9.8=2.0[s]
V=gtから V=9.8×2.0=19.6[m/s]
(2)y=-1/2gt2+Votに代入して、
上向きが正:y=-4.9t2+9.8t[m]
下向きが正:y=4.9t2-9.8t[m]
上向きを正にとると地面に落下したのはy=-14.7なので -14.7=9.8t-4.9t2
下向きを正にとると地面に落下したのはy=14.7なので 14.7=-9.8t+4.9t2
両式はともに 4.9(t-3.0)(t+1.0)=0 と変形されるので答えは3.0秒後。
(3)投げてから落下するまでの時間をtとすると、鉛直方向の変位について
19.6=1/2gt2 より t=2.0. この時間の間に水平距離で39.2m進んだので水平方向 の変位について 39.2=Vo×2.0 ゆえに Vo=19.6≒20[m/s]
落下時の速度の水平成分Vx,鉛直成分Vyは Vx=Vo=19.6 , Vy=gt=19.6
したがって tanθ=Vy/Vx=1. ゆえに求める角度はθ=45°
(4)客船から見た小球の運動は、初速度の水平成分V1=7.0[m/s],鉛直成分V0の斜 方投射となる。投げた所と最高点との間で等加速度直線運動の式を用いて
02-Vo2=2・(-9.8)・2.5 よってV0=7.0m/s
投げてから床に落ちるまでの時間をTとする。等加速度直線運動の式を落下時につ いて用いると 0=7.0T+1/2(-9.8)T2 T≠0であるからT=7.0/4.9≒1.43[s]
この間に客船の進んだ距離は V1T=7.0×7.0/4.9=10[m]
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